K₃=(e₄,e₅)                    0    0   1   0    1        

割阵A_f中，每一行表示一个割集。图中有3根枝，所以就有3个割集。割阵中，“+1”表示该管段在此割集内，且管段流向与此割集内的枝中的流向相同，“-1”表示流向相反，“0”表示该管段不在此割集内。式(5)的割阵A_f和割集K一一对应。割阵Af可用一个矩阵A和一个单位阵U表示为：

A_f=［U｜A］,其中A=

［

1

-1

］

-1

1

0

1

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割阵与流量列向量可构成割方程。

　　根据图论理论，割阵的行向量与环阵的行向量正交，这种关系可用式(6)表示。

[B|U]·[U|A]^T=0或者[U|A]·[B|U]^T=0

(6)

所以有B=-A^T或者A=-B^T。这样，环阵可以由割阵求出，反之亦然。

　　关联矩阵通过选主元初等行变换即可得到割阵：先选关联阵第一行中一非零枝元素为主元，并使其为+1，消去其它各行中此主元；再选第二行、第三行、…的主元，最后即得割阵A_f。因此，可以由关联矩阵导出割阵和环阵。

2 图论法模型

　　任何管道的水力都可以用管段流量q,水头损失h,管径D,管长L和管壁条件C等5个因素来描述。一般D、L和C为已知条件，只有q和h未知。因此，求解一个管网的水力平衡，可从两方面考虑：一是利用q和h的关系，消去h，以q为未知量计算，求出q后，反求h；二是首先消去q，以h为未知量计算；解出h之后，再反求。图论法也可从这两方面入手，即求弦流量式和求枝摩损式。前者只适用于环状网，而后者则适用于所有类型的管网，所以本文着重介绍后者。

　　设一管网有J个节点，P条管段，L个环，则三者满足L=P-J+1的关系。管网的每一管段都有q和h两个未知量，因而未知量的个数为2P。但管网环方程有L个，线性无关的连续性方程有J-1个，总数为L+J-1=P个，不能求解2P个未知量^［１］。因此，必须借助P个管段摩损方程式。管段摩损方程式线性化后的通式如(7)和(8)所示。系数R称为阻尼系数，Y称为传导系数。R和Y的具体形式与所选用的摩损公式有关，是www.tmgc8.comD、C、L的函数。摩损公式线性化后，R还是q的函数，Y还是h的函数。不过，在求解过程中，总是把R和Y当作已知量来对待。

　　阻尼式：

h=R×q

(7)

 

　　传导式：

q=Y×h

(8)

式中R和Y是阻尼系数和传导系数矩阵。

　　如果摩损公式采用Hazen-William公式，则有：

h=R×q=10.68q^1.852L/(C^1.852D^4.87)=10.68L|q|^0.852/(C^1.852D^4.87)q

(9)

R=10.68L|q|^0.852/(C^1.852D^4.87)

(10)

Y=1/R=C^{www.tmgc8.com1.852}D^4.87/(10.68L|q|^0.852)=C^1.852D^4.87/(10.68L)|q|^-0.852

(11)

用h向量表示管段摩损：h表示枝摩损，h′表示弦摩损；

用q向量表示管段流量：q枝管段流量，q′表示弦管段流量。

割方程的右端项Q为脱离体所含节点流量之和。

方环程：   Bf×h=0,即 [B U]×        ［   h ］       =0 (12)

                                       h′           

割方程：   A_f×q=Q,即 [UA］×         ［   q ］       =Q (13)

                                       q′           

传导式：   ［         q  ］  =        ［ Y  0   ］     ×     ［ h  ］  (14)

                      q′               0  Y′               h′   

　　求枝摩损式(以管段摩损为未知量)：

　　首先将传导式(14)代入割方程(13)得：

［U A］×

［

Y

0

］

×

［

h

］

=Q

(15)

0

Y′

h′

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由环方程(12)可得Bh+h′=0，即h′=-Bh，代入式(15)得：

［U A］× ［  Y   0    ］  ×  ［                  h ］  =Q  (16)

              0   Y′          -Bh                    

即                     h×［Y-AY′B］=Q            (17)

 

根据正交定理得：        h×［Y+AY′A^T］=Q             (18)

　　这就是图论法的求枝摩损式计算公式。h即为枝管段的摩损向量。解得枝摩损值h后，其余变量可由相应的公式求出。由环方程可得h′=-B×h，即可求出弦摩损向量h′,q、q′向量可以由式(14)求得。

式(11)中C^1.852×D^4.87/10.68×L对某一管段来说是个常数，可用W表示。则传导系数Y可以表示为：

Y=W×｜q｜-0.852

(19)

　　在迭代计算时，第一次可以直接用W代替Y进行计算，求出h,q后计算Y，再求新的q值，如此反复计算，直至前后两次的q值符合给定的误差标准为止。

　　为了避免可能出现的数值摆动现象，在第三次迭代时，用前两次迭代结果的流量平均值作为初始流量值^［２］，即：

q=q^{www.tmgc8.com（１）}+q⁽²⁾2

(20)

求得q⁽³⁾，……，这样收敛速度加快。

3 管网附件

　　实际管网中，有许多控制、安全、量测设施，如加压泵、控制阀、逆止阀、减压阀等附件，对管网运行产生重要。传统计算都未涉及到管网附件问题，不仅使计算准确性受损，而且其计算程序无法用于日常管理工作。

　　图论法处理管网附件时，将附件所在管段视为特殊管段，这些管段的摩损式要根据其附件的水力学特征计算摩损值，再加入到管网中进行水力平衡计算。本文给出几种较常见管网附件的处理方法。对于其它附件，具体问题具体处理，在此就不一一详述了。

3.1 普通阀门 闸板式阀门是用得最多的一种阀门，在一 般的水力计算过程中，闸板式阀门的水头损失计算一般引用公式h_f=ξ×v²/2g,ξ值见^[3]。

　　其中，a表示管段中过水断面的高度，d表示管段直径，a/d表示阀门开关。当开度为0时，阀门完全关闭，没有流量通过；当开度为1时，阀门完全打开，对水流不产生影响。

　　将阀门水头损失公式用流量表示为：h_f=ξ×v²/2g=ξ×2q²/π²gD²

　　则阻尼系数R为：R=2ξq/π²gD²;传导系数为：Y=π²gD²/2ξ×q^-1

　　计算时只需将闸板式阀门的R或Y值加入，即可计算。

　　蝶阀的计算方法与闸板式阀门类似

3.2 逆止阀 逆止阀是管网中最常见的设备之一，是水流方向控制设备，只允许水流单向通过。

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